方差分析与事后多重比较

跟完这篇，您能对三组及以上的数据做单因素与双因素方差分析（ANOVA），读懂交互作用，在 Tukey 与 Dunnett 之间选对事后比较，并在前提不满足时换用 Kruskal-Wallis——每一步都有可照着敲的 R 代码。

比较两组差异用 t 检验；一旦到了三组及以上，就该用方差分析。有人图省事，把多组拆成好几次两两 t 检验——这会放大假阳性（原因见 多重检验校正）。正确顺序是两步：先用 ANOVA 做一次整体检验，回答「这几组之间到底有没有差异」；整体显著后，再用事后比较定位「具体是哪几组不同」，并对多重比较做校正。这篇就带您把这条链完整走一遍。

什么时候用方差分析

方差分析回答的是一个整体问题：若干组的均值是不是全都相等？ 原假设是「各组均值相等」，p 小则提示「至少有一组和别人不一样」——但它不会告诉您是哪一组，这要留给事后比较。

按您手头的设计，对应不同版本：

场景	方法	例子
一个分组因素、三组及以上	单因素 ANOVA	比较对照、低剂量、高剂量三组的表达量
两个分组因素	双因素 ANOVA	同时看「饮食」和「性别」对体重的影响，以及两者是否相互作用
不满足正态、或有难处理的离群值	Kruskal-Wallis（非参数）	小样本、明显偏态时替代单因素 ANOVA

开工前先把数据摆成长表，这是 R 里做 ANOVA 最顺手的格式：

1. 每行一个样本（观测）；
2. 一列放要比较的数值（因变量，连续型）；
3. 一列或多列放分组（自变量），且必须是因子（factor）类型。

str(df)
# 分组列若还是字符或数字，先转成因子，R 才会当成「类别」而非数值处理
df$group <- as.factor(df$group)

分组列忘了转因子，是新手最常见的坑：R 会把 1/2/3 当连续变量去拟合，结果完全跑偏。

单因素 ANOVA：一步步做

以「一个分组因素、三组」为例，照着走：

1. 拟合模型。公式写成 数值 ~ 分组：

   fit <- aov(value ~ group, data = df)
   

2. 看整体检验结果：

   summary(fit)
   

   输出是一张方差分析表，重点看 group 这一行的最后一列 Pr(>F)：

   列	含义
   Df	自由度
   Sum Sq / Mean Sq	离差平方和 / 均方
   F value	F 统计量：组间变异相对组内变异有多大
   Pr(>F)	对应的 p 值——这就是整体检验的结论

3. 判断：group 行的 Pr(>F) < 0.05，说明各组均值不全相等，可以进入下一步的事后比较；若不显著，通常就停在这里，不必再两两比。

p < 0.05 判显著是常用惯例、不是铁律，请结合效应量、样本量和研究场景一起判断。

只报一个 p 值往往不够。按惯例还应给出效应量，说明差异有多大而不只是「显著与否」，方差分析里常用 η²（eta-squared）：

# 需要 effectsize 包；报告效应量是良好习惯，别只交代 p 值
library(effectsize)
eta_squared(fit)

检查前提假设

ANOVA 和 t 检验一样有三条前提：观测独立、残差近似正态、各组方差齐。前两条里「独立」由实验设计决定、数据补不回来；正态和方差齐则有一定容忍度，样本量大且各组均衡时更稳健。拟合完模型后，按下面顺序核对：

1. 残差正态性。注意看的是模型残差，不是原始数据：

   qqnorm(residuals(fit)); qqline(residuals(fit))   # 点大致沿直线即可
   shapiro.test(residuals(fit))                     # 辅助检验，别只看它
   

   shapiro.test 的 p 别当开关用：小样本检验力弱、大样本又会对无关紧要的微小偏离过度敏感，配合 Q-Q 图一起看更靠谱。

2. 方差齐性。常用 Levene 检验，它比 Bartlett 对正态偏离更稳健：

   library(car)
   leveneTest(value ~ group, data = df)   # p < 0.05 提示方差不齐
   plot(fit, 1)                           # 残差 vs 拟合值，看散布是否随组变化
   

3. 方差不齐怎么办。改用不要求方差齐的 Welch 方差分析：

   oneway.test(value ~ group, data = df, var.equal = FALSE)   # Welch ANOVA
   

   这一步和 t 检验里「方差不齐就用 Welch t」是一个道理。方差不齐时，事后比较也要换成对应的稳健方法（见下一节的 Games-Howell）。

事后多重比较：Tukey 还是 Dunnett

ANOVA 整体显著后，事后比较负责回答「具体哪几组不同」。它们都会内建多重比较校正，这正是不能用裸奔的两两 t 检验的原因。选哪种，取决于您真正关心哪些对比：

场景	事后方法	R 写法
想两两全比（每组对每组）	Tukey HSD	TukeyHSD(fit)
各处理组只跟一个对照比	Dunnett	multcomp::glht(...)
方差不齐	Games-Howell	rstatix::games_howell_test()

Tukey HSD：给出所有两两组合的差值、置信区间和校正后 p 值，适合「没有预设方向，想全面看看谁和谁不同」：

TukeyHSD(fit)
plot(TukeyHSD(fit))   # 置信区间不跨 0 的那对，即为显著

Dunnett：只把每个处理组跟指定的对照组比（如「各给药组 vs 安慰剂」）。因为对比数量更少，检验力通常高于 Tukey——只要您的问题确实是「和对照差不差」，就优先它：

library(multcomp)
# 确保对照是因子的第一个水平；relevel 可指定谁当参照
df$group <- relevel(df$group, ref = "control")
fit <- aov(value ~ group, data = df)

dunnett <- glht(fit, linfct = mcp(group = "Dunnett"))
summary(dunnett)   # 每个处理组与对照的比较，已做多重校正

一句话选法：想两两全比，用 Tukey；只关心「各组 vs 一个对照」，用 Dunnett（更省、更有力）；方差明显不齐，用 Games-Howell。

双因素 ANOVA 与交互作用

当有两个分组因素时（如「饮食」×「性别」），双因素 ANOVA 能一次回答三个问题：饮食有没有主效应、性别有没有主效应、以及两者是否存在交互作用。

1. 拟合模型。用 * 连接两个因素，它会自动展开成「两个主效应 + 交互项」：

   fit2 <- aov(value ~ diet * sex, data = df)
   # 等价于 value ~ diet + sex + diet:sex
   summary(fit2)
   

2. 先看交互项（diet:sex 这一行）。交互作用的含义是：一个因素的效应，会随另一个因素的水平而改变。

   • 交互项显著 → 别再孤立地解读主效应，因为「饮食的作用」在不同性别下并不一样，笼统说「饮食有没有效」会误导。此时应看简单效应（固定一个因素，在其每个水平内分别比较另一个因素）。
   • 交互项不显著 → 可以放心分别解读两个主效应。

3. 画交互作用图帮助判断：

   interaction.plot(df$diet, df$sex, df$value)
   

   两条线大致平行，提示没有交互作用；线明显交叉或发散，提示有交互作用。

4. 交互显著时，拆简单效应。emmeans 包很适合做这件事：

   library(emmeans)
   # 在每个性别内，分别比较不同饮食（并自动做多重校正）
   emmeans(fit2, pairwise ~ diet | sex)
   

一个容易被忽略的细节：当各组样本量不相等（不平衡设计）时，aov() 默认的 I 型平方和会受因素书写顺序影响。此时按惯例常改用 II 型或 III 型平方和，例如 car::Anova(fit2, type = 2)。平衡设计下三者结果一致，无需纠结。

非参数替代：Kruskal-Wallis

如果是小样本又明显偏离正态、或有难以处理的离群值，就把单因素 ANOVA 换成它的非参数对应——Kruskal-Wallis 检验。它比较的是各组的秩分布，不要求正态：

kruskal.test(value ~ group, data = df)   # p 小提示各组分布不全相同

整体显著后，同样需要事后两两比较。两种常规做法：

# 做法一：Dunn 检验，KW 之后最常配套的事后方法（需 FSA 包）
library(FSA)
dunnTest(value ~ group, data = df, method = "bh")   # bh：Benjamini-Hochberg 校正

# 做法二：成对 Wilcoxon 秩和检验，并对多重比较做校正
pairwise.wilcox.test(df$value, df$group, p.adjust.method = "BH")

用非参数方法时，有两点边界要心里有数：

• Kruskal-Wallis 只处理一个分组因素，没有直接对应「双因素 + 交互」的标准方法。两因素又严重非正态时，常见做法是先尝试变量变换（如对数），或改用更专门的稳健模型；
• 当数据其实近似正态时，非参数方法的效能通常略低于 ANOVA。所以不是「拿不准就一律非参数」，而是「ANOVA 前提明显不满足时才换」。

到这里，一条完整的分析链就走通了：分清几个因素 → 拟合 ANOVA、看整体是否显著 → 核对残差正态与方差齐（不满足就 Welch 或 Kruskal-Wallis）→ 按「两两全比 or 对照比」选 Tukey 或 Dunnett 做事后比较 → 双因素别忘了先看交互作用。

在平台上跑一遍

上面这套流程您不必手动敲代码。在百沐一下的【智能统计】里，上传一张整洁的长表（每行一个样本、含分组列），用一句话说清目的，例如「比较三组表达量是否有显著差异，并两两比较」，它会自动帮您核对正态与方差齐性、选好 ANOVA 或 Kruskal-Wallis、跑出整体检验与事后比较，并附上可复现的 R 代码供您核对。用法见 智能统计使用指南，或直接登录 app.baimuyixia.com 试一遍。

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